La grandezza del genio Archimede

Archimede e lo specchio ustore 

Il modo di vivere di Archimede era comunque coerente con le sue idee: il fine ultimo dello studio era la pura ricerca teorica, la scoperta per la scoperta, mentre si disinteressava completamente di qualsiasi applicazione materiale dei suoi studi. Grandissimi, infatti, sono stati i contributi di Archimede alla matematica e alla fisica: tra le tante cose, determinò l’area della superficie della sfera e dimostrò che il suo volume è sempre uguale a due terzi del volume del cilindro circoscritto ad essa; riuscì a trovare un metodo per approssimare le radici quadrate e il numero pi greco; definì il baricentro di alcune figure geometriche come triangoli e semisfere, descrisse il funzionamento della leva e le principali leggi dell’idrostatica.
Per assurdo, però, racconta sempre Plutarco, al suo tempo Archimede fu il più noto tra i matematici soprattutto per l’aspetto più pratico della sua opera: le macchine (nonostante lui le definisse solo dei “divertimenti di geometria”, pensati unicamente per far piacere al re di Siracusa Gerone).
Celeberrima è la sua vite idraulica, utilizzata ancora oggi per far salire l’acqua dai pozzi, o le famose “macchine da guerra” che avrebbe disegnato e utilizzato per la difesa della sua città durante gli attacchi dei Romani. Siracusa resistette a lungo a un esercito numericamente e militarmente superiore grazie all’incredibile genio ingegneristico del suo cittadino più famoso. Menzione a parte meritano i suoi “specchi ustori”: la leggenda narra che riuscissero a concentrare i raggi solari sulle vele delle navi nemiche fino ad incendiarle. Ancora oggi si discute se fosse possibile con la tecnologia di allora, costruire specchi con questi poteri: nessuno c’è mai riuscito… e forse è stato meglio così.
La grandezza del genio si vede anche dopo la sua morte: racconta Cicerone che più di 150 anni dopo, durante un viaggio, in Sicilia, si mise a cercare la tomba del grande matematico e quando gli fu davanti fu certo di averla trovata nonostante l’epitaffio fosse praticamente illeggibile: su una colonna di marmo erano state scolpite le figure di un cilindro e di una sfera…

Sabrina
PS: Per maggiori informazion sugli specchi ustori di Archimede vi suggerisco “Storia, scienza e leggenda degli specchi ustori di Archimede” di Carlo Zamparelli scaricabile all’inidirizzo: http://www.gses.it/pub/specchi1.pdf  .

Informazioni su Sabrina Masiero

Ricercatore Astronomo (Tecnologo III livello) presso INAF-Osservatorio Astronomico di Palermo-Gal Hassin, Centro Internazionale delle Scienze Astronomiche di Isnello, Palermo. In precedenza: Borsista presso INAF-Osservatorio Astronomico di Padova e Fundaciòn Galileo Galilei, FGG-Telescopio Nazionale Galileo, La Palma, Isole Canarie.
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16 risposte a La grandezza del genio Archimede

  1. Antonio dice:

    E' davvero incredibile il contributo che Archimede e' riuscito a dare a diversi settori della conoscenza, tra l'altro in un'epoca tecnologicamente piu' arretrata della nostra. Spesso mi capita di pensare quali risultati avrebbero potuto ottenere personaggi illustri come lui se avessero avuto a disposizione la conoscenza e gli strumenti che abbiamo noi oggi.

  2. Monica dice:

    A volte penso che ogni uomo sia figlio del proprio tempo, che ciò che riesce a pensare sia frutto di quanto ha a disposizione. Altre volte, come Antonio, con la fantasia metto nelle mani di Archimede, Einstein, Newton anche il computer e me li vedo mentre trafficano come noi sulla tastiera o mentre navigano in Internet. Certo, capita pure di immaginare me all'epoca di Archimede… Meglio che non vi dica in che stato mi vedo.

  3. Amedeo dice:

    Quello che ho letto in queste pagine del Blog sono solo uno spillo dell'immenso patrimonio culturale emerso da poche e geniali persone che hanno rivoluzionato il mondo: trovo più che giusto rendere loro onore, se lo meritano.
    Sabrina, in poche righe hai saputo condensare tanto sapere e tanto pensiero, brava!

  4. umberto esposito dice:

    L’ULTIMO EUREKA DI ARCHIMEDE?

    I matematici – per quasi quattro secoli e ad ogni latitudine- non hanno potuto fare a meno di ricorrere in modo sistematico ai metodi oppure alle frazioni continue per risolvere le equazioni diofantee (FP/N) nel caso k=2, anche se entrambi tali metodi sono poco “maneggevoli” per calcolare la radice quadrata “approssimata” di N ( ad esempio, mettiamo pure con un numero r=9 di cifre decimali) . Le cose cambiano radicalmente se si ricorre al Teorema FPG di Gallo, il quale consente, da un lato di risolvere le equazioni k-diofantee di Gallo (FPG/N) beta^ k -N alfa ^k = c di grado k (>2) ed, equivalentemente di calcolare la radice k-ma di N (con N≠n k e con N ed n interi positivi) quasi istantaneamente con un numero qualsiasi r (finito)di cifre decimali. L’ultimo “eureka” di Archimede? Potrebbe essere costituito da un messaggio “criptato”di Archimede ai posteri! E’ la suggestiva e originalissima ipotesi lanciata dal matematico italiano Onofrio Gallo (n.1946 a Cervinara, Valle Caudina) in una sua nota a margine della sua risoluzione del celebre Problema dei Buoi di Archimede, sulla base del suo TEOREMA FPG, relativo alle equazioni diofantee di Fermat-Pell di grado k (=2 , ma anche >2) con soluzioni minime ( per la prima volta nella Storia della Matematica, dopo oltre 2200 anni !) dell’ordine di 10 elevato a 17 riportata nel suo Codex Cervinarensis. Ricordiamo che lo storico delle matematiche C. Boyer (” …ma occorrebbe un volume di oltre 600 pagine per contenere i valori delle otto incognite contenute ina delle soluzioni”) e lo stesso matematico francese A. Wei erano convinti che la soluzione generale del problema coinvolgesse numeri dell’ordine di 10 exp 103275; dal momento che la soluzione classica minima particolare trovata nel 1880 dal matematico tedesco A. Amthor contempla due valori interi positivi rispettivamente di 45 e di 41 cifre. Ed ecco quanto scrive Onofrio Gallo nella suddetta nota : “Partendo dai numeri gallo-archimedei sG = 2 004 659 982 (numero triangolare richiesto da Arcimede) e aG= 805 306 368 (base del numero quadrato richiesto da Archimede)e calcolando il quadrato rG del rapporto aG/ sG , otteniamo rG = 0. 161 3766 98 . Se osserviamo che r’G = 1/10 (1.618 033 989)= 0. 161 8033 98, dove il valore tra parentesi(= 1.618 033 989) è il numero aureo classico, otteniamo, da un lato, le cifre comuni ai valori rG ed r’G ( che sono le prime tre decimali (161) e le ultime due decimali (98)); e, dall’altro lato, due gruppi di quattro cifre ciascuno, non comuni ad rG e ad r’G, cioè 3766 e 8033. Se calcoliamo le differenze “binarie” 80-37=43 e 66-33=33, che, sommate tra loro (= 43+33) dànno il numero 76 ( Età di Archimede ?) e se calcoliamo la differenza “quaternaria” 8033-3766 , otteniamo il valore 4267 = 17×251 Il fattore primo 17 coincide chiaramente con il minimo ordine di grandezza 10exp17 della soluzione generale minima di Gallo, la quale potrebbe dunque rappresentare, molto probabilmente, anche il minimo ordine di grandezza della soluzione generale minima trovata(?) da Archimede. Ne sguirebbe che le due “soluzioni generali minime” del Problema dei buoi sarebbero coincidenti. Il che, anche se inverosimile, rappresenterebbe una straordinaria, inimmaginabile, fortuita e singolarissima coincidenza! Per quanto riguarda il fattore 251, anch’esso primo, mentre per Archimede esso potrebbe significare il 251-mo giorno dell’anno in cui egli risolse il problema (verso la fine della prima decade del mese di settembre), per noi posteri potrebbe indicare l’anno in cui Archimede risolse il problema : il 251 a.C., quando egli aveva circa 37 anni di età, se l’ipotesi relativa all’età di 76 anni è valida; per cui Archimede sarebbe nato nell’anno 288 a.C. (di solito la data di nascita (sconosciuta) viene fatta risalire all’anno 287 a.C.). Riassumendo, se tutto ciò fosse vero, allora Archimede sarebbe nato nel 288 a.C. ( è morto infatti nel 212 a.C.), sarebbe vissuto 76 anni e avrebbe risolto il Problema dei buoi all’età di circa 37 anni verso la fine della prima decade di settembre dell’anno 251 a.C.! EUREKA !? Era questo il “messaggio” di Archimede?” A cura di U. Esposito

  5. umberto esposito dice:

    IL PROBLEMA DEI BUOI DI ARCHIMEDE GENERALIZZATO -L’INFERNALE “ MATEMATICA DISFIDA” DI ONOFRIO GALLO Il problema di Analisi Indeterminata più famoso dell’antichità ? E’ il cosiddetto
    “Problema dei buoi di Archimede”la cui risolvente è sempre stata identificata con un’equazione diofantea , detta di Fermat-Pell, (FP/N) y^2-Nx^2 =1 di grado k=2 (grado minimo) con N (=4729494) intero positivo non quadrato perfetto. Il Problema dei buoi di Archimede, ritenuto per quasi due millenni uno dei più difficili problemi della matematica, fu “riesumato” nella ben nota biblioteca di Wolfenbuttel, nel 1773, daI famoso letterato, filosofo e bibliotecario G. Lessing (1729-1781), il quale pubblicò un epigramma in greco formato da 22 distici, contenuto in uno dei manoscritti che gli erano stati affidati e nel quale il problema archimedeo figura nelle vesti di un <problema inviato da Archimede ai matematici , già allora nel pieno fulgore culturale sia nel campo delle lettere che in quello delle matematiche e delle scienze fisiche.
    Nulla si sa sulla risoluzione o meno del problema da parte degli accademici alessandrini, né tantomeno della sua risoluzione da parte dello stesso Archimede, che – se in suo possesso – molto probabilmente egli tenne ben nascosta da qualche parte o, nella migliore delle ipotesi, andò perduta per sempre, per cui non si sa esattamente in che modo Archimede sia pervenuto alla risoluzione del Problema dei buoi, né si conoscono le circostanze che hanno dato luogo all’ideazione del problema. Infatti, se traduciamo in relazioni algebriche il testo del Problema dei buoi di Archimede, indicando le otto incognite del problema con:
    x il numero dei buoi di colore bianco
    y il numero dei buoi di colore nero
    z il numero dei buoi di colore screziato o maculati
    h il numero dei buoi rossicci o fulvie con x’, y’, z’ h’ il numero, rispettivamente, delle vacche di colore bianco,nero, maculate e fulve,
    perveniamo al seguente sistema diofanteo indeterminato nelle seguenti sette equazioni in otto incognite:
    x = (1/2 + 1/3)y +h x’ = (1/3 + +1/4) (y+y’)
    y = (1/4 + 1/5) z +h y’ = ((1/4 + 1/5) (z + z’)
    z = (1/6 + 1/7)x +h z’ = (1/5 +1/6)(h+h’)
    h’ = ((1/6 +1/7) (x+x’)
    le quali sono esattamente verificate dalla soluzione minima di Gallo che dell’ordine di 10exp17.
    Raggiunto il , prendendo opportunamente il fattore comune alle incognite x, y, z, h uguale al valore m=4657 r (per m=1 ecc, si veda a p. 117)
    E poi r=20u come fattore comune alle x’, y’, z’ , h’, otteniamo le otto incognite del problema espresse tutte in funzione dell’unico parametro intero positivo u , così come interi postivi sono r e tutte le incognite che intervengono nel problema.
    Sulla base della soluzione minima intera positiva trovata, Onofrio Gallo ottiene facilmente che le ultime due condizioni ( il del problema)imposte da Archimede siano esattamente verificate. Il “secondo grado” del problema è costituito dalle ulteriori due condizioni imposte da Archimede rappresenatte dalle:
    A1) x + y =  = a2 (quadrato perfetto)
    A2) z + h = numero triangolare
    A questo punto Archimede concede l’alloro matematico all’eventuale solutore del suo problema.
    La soluzione generale minima di Gallo del Problema dei buoi di Archimede fornita da Onofrio Gallo è tale che risulta anche simmetricamente verificata, rispetto alla A1), anche la “simmetra di Gallo” espressa dalla G1) e che figura tra le seguenti ulteriori cinque ulteriori condizioni di Gallo :
    G1) x+y=Δ (numero triangolare)
    G2) s^2+sG^2 = TG^2 = □ (numero quadrato perfetto)
    G3) TG^2 + s^2= □ = aG^2
    G4) TG +a^2= □ = bG^2
    G5) aG^2 + bG^2 =□ = c G^2
    I triangoli pitagorici numerici T1=( s, sG , TG), T2=(TG, s, aG ), T3=( TG, a, bG ), T4=( aG, bG, cG ) sono detti, rispettivamente, triangoli numerici archimedei minimi di Gallo del primo, del secondo, del terzo e del quarto ordine.
    In particolare il triangolo numerico pitagorico T4 individuato dalla terna pitagorica archimedea di Gallo (aG, bG, cG) è detto anche triangolo pitagorico archimedeo minimo di Gallo o, semplicemente, triangolo perfetto minimo di Gallo.
    Dopo aver fornito tutte le variabili presenti nelle sue cinque condizioni aggiuntive, Onofrio Gallo, nel suo CODEX CERVINARENSIS, scrive:

    “Ma se Archimede lanciò la “ sfida” ai matematici accademici di Alessandria d’Egitto nel III sec. a.C., non vi è stato alcun accademico del secolo XX che abbia raccolto e , molto probabilmente non ve ne sarebbe stato neppure uno nel corso del secolo XXI ( e forse anche nel corso dei secoli successivi) che avrebbe potuto raccogliere la nostra “matematica disfida” relativa alle nostre cinque “condizioni “ e ai nostri due “Addendum” al Problema dei buoi di Archimede”
    (O.G. , Il Problema dei buoi di Archimede, 1995).

    A quale infernale “matematica disfida” si riferisce l’Autore?
    al seguente “primo” Addendum al Problema dei buoi di Archimede concepito dallo stesso Gallo anch’esso in versi ( otto ulteriori distici):
    “ Or che esperto sei dei buoi archimedei/
    Grande a te sarà il favore degli dei/

    Se la simmetria per caso troverai da solo/
    Senza continue frazioni e senza dolo/

    ( né ricorrendo agli esperti “indiani”,/
    né tantomeno agli “alessandrini” profani)/

    Tra i due coni retti finiti per superfici e per volumi/
    Dei quali -come aiuto- ti assegno gli apotemi/

    E nulla più a ed s (i minimi valori di Gallo)/
    Solo allor la tua gloria salirà sul divino piedistallo”:

    In tal modo il numero totale dei distici sale a trenta
    Si noti che otto erano anche i distici del “primo grado” del problema.
    Oltre alle simmetrie di Gallo che figurano nelle condizioni di Gallo G1) e G2), quelle relative al cosiddetto “terzo grado” del Problema dei buoi di Archimede, contenute nel suo primo Addendum al problema archimedeo, richiedono il calcolo dei rapporti ( in greco “simmetria” significa appunto “rapporto” o commensurabilità tra due grandezze omogenee) da un lato tra le superfici e, dall’altro lato tra i volumi di due coni circolari retti finiti, detti coni di Gallo, dei quali sono assegnati solo i rispettivi apotemi a per il primo di essi ed s per il secondo di essi, essendo a ed s i minimi valori di Gallo del “secondo grado” del problema posto da Archimede. Onofrio Gallo ha calcolato i valori a ed s , che risultano essere i cateti del triangolo rettangolo archimedeo di Gallo di cateti a ed s la cui ipotenusa è espressa dal numero intero positivo 1 517 136 152. Se ricordiamo che Archimede era particolarmente orientato a calcolare tale tipo di “simmetrie”( o rapporti) tra le figure solide euclidee da lui prese in esame, è verosimile che forse, secondo Gallo, lo steso Archimede avesse come obiettivo finale quello di proporre, oltre la soluzione del problema, anche la determinazione di un tale tipo di “simmetria”.
    Ma è chiaro che qui si tratta di ben altro.
    In quanto , per la prima volta nella Storia della Matematica, viene assegnato solo l’apotema di ciascuno dei due coni di Gallo di cui tratta il primo epigramma di Gallo.
    E’ evidente che si trattava , oltre che di una “sfida” (prima della diffusione del Teorema Mirabilis di Gallo), soprattutto di una “provocazione” (dopo la diffusione del Teorema Mirabilis di Gallo), nei confronti degli “accademici” ( gli “alessandrini profani” (= italiani) ?), in quanto tali “simmetrie” sono impossibili da ottenere senza il fondamentale Teorema Mirabilis di Gallo.

    Il “quarto grado” del Problema dei buoi di Archimede.è dettato dal “secondo” Addendum – epigramma di Gallo, composto dagli ultimi otto distici seguenti:

    “ Ed or che il tuo ingegno al terzo grado dell’Olimpo degli dei/
    E’ asceso, per aver tu calcolato i pitagorici cateti gallo-archimedei/

    Dei triangoli numerici dei generator/
    E loro simmetrie; a lato del trono d’oro di Zeus grazie ai tori/

    Per sempre siederai, se tu, come quarto e ultimo dono,/
    Paziente, saprai dirmi esattamente quanti sono/

    Siffatti e i relativi cateti gallo-archimedei/
    Entrambi pitagorici, triangolari e senza nei.”

    Pertanto l’intero Problema dei buoi, compresi i due “addendum” di Gallo (composti da 16 distici) è rappresentato da 38 distici.
    Il “quarto grado” di Gallo relativo al Problema dei buoi di Archimede richiede:
    a) il numero dei “coni di Gallo” ( s’intende a coppie)
    b) il numero dei relativi cateti gallo-archimedei che siano entrambi “numeri triangolari” e “senza nei” (in interi positivi).
    La risoluzione completa del Problema dei Buoi di Archimede “generalizzato” fu ottenuta da Onofrio Gallo nella prima metà degli anni ’90 del XX secolo in venti modi diversi con soluzioni (i cui ordini di grandezza variano da 10exp17 a 10exp43). Mentre Archimede concesse l’alloro matematico a colui che avesse risolto i due gradi del suo Problema dei buoi, Onofrio Gallo ritiene di poter concedere ai giorni nostri un simile “alloro matematico” a colui che avrà fornito la minima soluzione intera positiva del problema (comprendente il calcolo dei minimi valori di a e di s) e le soluzioni relative alle sue cinque condizioni aggiuntive ed ai suoi due “Addendum” finali. Chi accetterà l’infernale “matematica disfida”? Sintesi a cura di Umberto Esposito per gentile concessione dell’Autore.

    • Il precedente procedimento non può portare mai ad una soluzione anche poichè è impossibile calcolare il numero dei tori bruni poichè non hanno nessun rapporto con gli altri tori.
      Il procedimento è diverso ed è semplicissimo.
      La mia soluzione soddisfa tutte le richieste del problema compreso quella quadrata e triangolare.

  6. Andrè La Roch dice:

    IL CODICE PERDUTO DI ARCHIMEDE
    Sembra che i curatori del codice perduto di Archimede (Reviel Netz e W"illiam Noel) stiano per pubblicare l'opera omnia del grande Siracusano, ma fino ad oggi non è noto se tale opera conterrà la soluzione minima del problema dei Buoi di Archimede, che come ho appreso dal web, è stata trovata con il suo teorema FPG per la prima volta dal matematico italiano Onofrio Gallo. Una soluzione che è dell'ordine di 10 elevato a 17 e che si trova nel suo Codex Cervinarensis, dove sono risolte, a quanto so, le equazioni k-diofantee di Gallo, di grado superiore al secondo. Sinceramente penso che neppure gli esperti più esperti di teoria dei numeri potrebbero risolvere oggi tali equazioni come fa il matematico italiano (con un'approssimazione di almeno nove cifre decimali). André La Roche

    • Guarda la mia soluzione del problema dei buoi di Archimede su
      Google :1) Calogero savarino – 2) I buoi di Archiede – 3)L'Archimede di Ravanusa.
      Tutti i tentativi di soluzione trovati in rete sono procedimenti illogici.
      Caro André se t'interessa il procedimento che ho usato contattami :
      calogero.Savarino@email.it

  7. umberto esposito dice:

    Il PROBLEMA DELL’ARMADIO- UN INEDITO PROBLEMA (DI CACCIOPPOLI ?) PER UN OSCURO E SEDICENTE “ INGEGNERE MECCANICO” (CHE HA FATTO DAVVERO UNA BRUTTA FINE)! Il seguente aneddoto è riportato nel suo Codex Cervinarensis dal matematico Onofrio Gallo(n.1946 a Cervinara, Valle Caudina). Ed ecco il racconto: “C’era una volta un falegname molto ferrato in aritmetica, un ragionatore nato, uno di quelli che alla stregua di un Kemeny o di un Erdos non mollava mai la sua preda numerica che assumeva spesso le sembianze dei problemi più svariati.La sua bottega si trovava alla Pirozza, una delle dodici frazioni da cui è composto il mio paese d’origine. Precisamente nell’attuale Cortile N 7, lo stesso dove si trovava la casa dei miei nonni materni. Avevo poco più di dieci anni, quando un giorno il mio amico falegname, sui venticinque anni, mi pose un problema “miracoloso” (un segno del destino? “miracoloso” potrebbe stare per “mirabilis”! ) che qualche anno dopo tradussi nella seguente equazione algebrica di primo grado: : 2[2(2x- 1) -1] -1 =0 che corrisponde al seguente problema
    “Un banchiere una mattina, per un improvviso acquazzone, cerca riparo in una chiesa. Aveva con sé una borsa nera di cuoio lucido piena di banconote. Mentre prega presso l’altare di san Gennaro rivolgendosi al santo gli chiede di compiere il miracolo di raddoppiargli la somma che ha nella borsa e gli promette, in cambio, un milione. Il miracolo avviene e l’uomo versa il milione promesso al san Gennaro.
    Senza fare caso a quanto gli restava in borsa, il banchiere invoca un altro miracolo presso la statua di san Nicola, alle stesse condizioni di prima.
    Il miracolo avviene e il banchiere versa un secondo milione a san Nicola. Infine invoca un terzo miracolo presso la statua di San Patrizio, sempre alle stesse condizioni precedenti. Il miracolo avviene e il banchiere mantiene la sua promessa. Solo a questo punto si accorge che la sua borsa è completamente vuota.”
    “Quanti soldi aveva l’uomo nella sua borsa prima di entrare in chiesa?”, fu la domanda che mi pose allora il mio amico falegname. Senza risolvere alcuna equazione (delle quali allora ignoravo persino l’esistenza) trovai la soluzione a mente, con un ragionamento all’inverso, vincendo la sfida del mio amico, che dubitava che qualcuno tra i ragazzi presenti riuscisse subito nell’impresa.Cinque o sei anni dopo incontrai di nuovo il mio amico falegname nel periodo delle feste natalizie. Mi disse che non aveva potuto portare a termine la costruzione di un armadio commissionatogli da una “persona importante”. Andai nella sua bottega e notai un bell’armadio in noce che, a quanto sembrava, non aspettava altro che di essere consegnato al suo futuro proprietario, tanto sembrava completo e ben rifinito e tirato a lucido in ogni parte; ma il mio amico falegname mi raccontò che il committente voleva per forza che vi fossero applicate due cornici triangolari in rilievo, sempre in noce, una su ciascuna anta dell’armadio. Ma a condizione che i due triangoli fossero disposti tra loro in perfetta simmetria e il loro lato maggiore fosse parallelo alla base dell’armadio. Ma dell’identità dei due triangoli il falegname non aveva idea. Il committente richiedeva che fossero uguali, scaleni, con le altezze relative al lato maggiore, ciascuna di 236, 31744 millimetri. Ma come avrebbe potuto calcolare le misure dei lati di siffatti triangoli (che, per giunta!, dovevano essere dei numeri interi naturali)dal momento che a stento conosceva solo quelle due altezze? Certo che il committente, un certo “Prof. Greco” di Cervinara, lo aveva messo in un bel pasticcio! Anni dopo congetturai che il committente altri non poteva che essere se non il Prof. Donato Greco, docente di analisi matematica all’Università di Napoli, un suo testo di Analisi superiore fu adottato perfino a Berlino!, che personalmente non ho mai conosciuto (pur essendo mio compaesano!), già amico dell’eccentrico Prof. Renato Caccioppoli e del suo assistente, il gesuita Don Savino Coronato, che fu titolare di Istituzioni di Analisi fino ai primi anni ’70 del secolo scorso, oltre che di altri illustri accademici, come i Proff. Carlo Miranda (che nel 1973 avrei conosciuto personalmente a Palermo e del quale serbo un ricordo limpido e duraturo), Federico Cafiero, Mario Curzio, Renato Vinciguerra, (che furono alcuni dei miei docenti presso l’Ateneo napoletano), Carlo Ciliberto ed altri ancora. Col senno di poi pensai che il Prof.Greco, venuto a sapere della fama matematica di cui godeva il mio amico falegname, escogitò quello stratagemma per metterne alla prova le capacità matematiche fino in fondo. Dunque il falegname aveva un solo dato a disposizione. Era disperato. Non ne veniva a capo. Le notti trascorrevano quasi insonni, carta e penna alla mano e cervello fumante, come mi raccontò il mio amico falegname. Pensò che ci fosse perfino qualche errore da qualche parte. Quando però, il giorno dopo, gli consegnai la soluzione del problema gli feci capire che effettivamente egli, nonostante la sua abilità nei calcoli e il suo acuto argomentare in matematica, in realtà, con le sue conoscenze, non avrebbe mai potuto risolvere quel problema. Che fosse stato escogitato da qualche illustre amico del Prof. Greco, se non addirittura dallo stesso Prof. Caccioppoli? Il dubbio, quasi involonatario, mi sorse molti anni dopo.Tuttavia nessuno saprà mai come andarono effettivamente le cose. Il mio amico falegname terminò il suo armadio alla perfezione e trascorse davvero un felice Natale. Mi fu molto grato per avergli “tolto le castagne dal fuoco”, come affermò e riconobbe che quel “dannato problema” che gli aveva tolto il sonno per vari giorni davvero non poteva essere alla sua portata. Ebbe, però, l’accortezza di annotarne la soluzione che gli avevo data e, per quanto possibile, anche illustrata. La trascrisse con cura in uno dei suoi quaderni sgualciti e, con altrettanta cura, la ripose in un apposito armadietto che teneva, zeppo di fogli, in un angolo della sua bottega.
    Quell’ “armadietto” nelle mani del mio amico falegname, come seppi anni dopo, si trasformò, potenza della matematica!, addirittura in una cassaforte ! Come fu possibile? vi chiederete quasi certamente. No, non si trattò di nessun tipo di magia, né di qualche trasformazione alchemica. Per puro caso il mio amico falegname s’imbatte’ un giorno in uno che si vantava di essere un “fenomeno” in matematica. In giro ce ne sono parecchi di tali tipi: io stesso ne ho incontrati tantissimi, li lascio cuocere nel loro brodo. Convinti come sono di riuscire a risolvere qualsiasi problema numerico…Sembrano quasi degli eredi di Archimede che, parafrasando il famoso detto archimedeo “Datemi un punto d’appoggio e io vi solleverò il mondo!”, sembra che dicano ad ogni pie’ sospinto: “Datemi un problema numerico e io ve ne fornisco la soluzione!”. Di tale caratura era il “fenomeno” che il mio amico falegname aveva incontrato. Per caso ( o volutamente, non si sa) quest’ultimo accennò al “problema dell’armadio” che qualche mese prima gli aveva tolto il sonno e la tranquillità. Il “fenomeno” drizzò le orecchie e sfidò immantinente il mio amico falegname: lui quel problema l’avrebbe risolto facilmente. E concluse con un: “Quanto scommettiamo?”. Al che il mio amico falegname lo prese al varco. “Per me –disse- anche un milione di lire!”, aggiungendo ancora :”…e per essere corretto nei tuoi riguardi, per risolvere il problema, ti concedo esattamente cinque anni a partire da oggi !”. L’altro accettò la sfida sorridendo beffardamente, sentendosi quasi preso in giro e umiliato per via di quei “cinque anni!”. Un vero e proprio tuono era scoppiato nella sua mente nel sentir pronunciare quelle parole, e per giunta, da un… falegname!
    Come venni a sapere molto tempo dopo, trascorsi i cinque anni, non solo il “fenomeno” non aveva trovato la soluzione del problema, ma addirittura era scomparso letteralmente dalla circolazione! Non si era fatto più vedere in giro per la vergogna. Tutti avevano saputo della scommessa e, trascorsi i cinque anni, il giorno della scadenza, una folla di persone si era riunita davanti alla bottega del falegname, Ma del fenomeno neppure l’ombra. Quando seppi il nome del presunto “matematico”, compresi subito che si trattava di un tale che con la matematica non aveva nulla da spartire, trattandosi (udite,udite!)di un “ingegnere meccanico”!. Il mio amico falegname ci restò male. Mai e poi mai si sarebbe sognato di sottoporre quel problema ad un “ingegnere meccanico”, tantomeno di abbasarsi fino al punto di scommettere quella grossa somma con uno che, ammesso che fosse “meccanico”, non poteva certo essere “un ingegnere”! E, viceversa, ammesso che fosse “ingegnere”, non poteva essere di certo un “mecacnico”! Quando faceva queste considerazioni il mio amico falegname si sbellicava dalle risate. Ampiamente giustificate e giustificabili, pensavo tra me e me.”
    COMMENTO di U. Esposito :Questo episodio la dice lunga sulla tendenza di certi “ingegneri” ad invadere il campo dei “matematici” ( il che non toglie, per carità che qualche “ingegnere” possa essere un serio cultore di matematica). In generale, però, è come se i “matematici” e i “filosofi della scienza” si scambiassero i ruoli! Il fatto è che gli ingegneri (quelli “veri” e che non si atteggiano a geni matematici) hanno una “forma mentis” pratica, rivolta alla realtà “effettuale” direbbe il Machiavelli, in altri termini, come i preti, senza danaro,non cantano messa! Mirano al sodo. Al portafoglio! Non che siano dei ladri che da un momento all’altro ardissero a tal punto da portare via il mio o il vostro, ma sono fatti così. Ma se i “veri” ingegneri nell’addentrarsi nei campi minati della matematica rischiano indubbiamente la loro reputazione, figuriamoci che cosa può capitare a quelli che tra loro, specialmente agli “ingegneri meccanici” che passano per “fenomeni” e che , ritenendosi “ ardimentosi eroi di mille imprese” (direbbe il celebre Toto’) di “matematica ingegneristica”, osano avventurarasi pericolosamente, per sé e per gli altri, nei più profondi campi minati, tra i Vietcong della matematica; vale a dire nei rischiosissimi campi della Teoria dei Numeri! Il risultato di cotanto ardire? Prima o poi (in genere più “prima” che “poi”) rischiano di saltare in aria da un istante all’altro. Magari sul più bello, quando sono pienamente convinti di comprendeere o di aver compreso teorie o teoremi che non hanno mai letto, di fare confronti insensati e folli, di atteggiarsi a profondi studiosi e direi quasi ad esegeti convinti della genesi degli arcani numerici; è proprio allora che essi inciampano in qualche teorema incompreso, se non addirittura in qualche teoria mal digerita o del tutto indigesta che li fa saltare in aria, riducendone irrimediabilmente a brandelli non solo la reputazione, ma anche e soprattutto il ricordo. Di essi solo qualcuno che li ha conosciuti di persona a stento potrebbe ricordarsi e chiedersi molti anni dopo “ Ma chi erano costoro?” Aggiungendo subito dopo, per qualcuno di essi, l’amara considerazione di circostanza: “ Poverino,.. però quel sedicente “ingegnere meccanico” ha fatto davvero una brutta fine!” . Non credo, in seguito a quanto detto, che esista qualche novello don Chisciotte, travestito da “ingegenre meccanico”, che diabolicamente, anche di questi tempi, ritenendosi un “fenomeno” da baraccone in matematica…ardisse a tal punto da uscire allo scoperto e spingersi a raccogliere la “matematica disfida” (ancora valida) del falegname. Termine della sfida? Cinque anni a partire da oggi. O, nel caso si dovesse sentire mortificato da un falegname, potrebbe sempre raccogliere una delle più infernali sfide matematiche degli ultimi mesi. Mi riferisco alla risoluzione, da parte di qualche “ingegnere” non “mecacnico”, della “infernale matematica disfida”( scadenza: cinque anni da quando è apparsa in rete), alias la risoluzione del Problema dei Buoi di Archimede nella versione ampliata di Gallo, quella con i due Addendum. Una sfida che fortunatamente per gli internauti, fino ad oggi nessun fenomeno matematico, neppure travestito da “ingegenere meccanico”, si è degnato di raccogliere! E come avrebbe potuto?
    News a cura di Umberto Esposito per gentle concessione dell’Autore.

  8. umberto esposito dice:

    IL PROBLEMA DI CACCIOPPOLI
    Il seguente problema inedito, relativo a “permutazioni casuali “, fu risolto da Caccioppoli nell’ambito della Teoria dei Gruppi ( ma né la sua soluzione particolare, né il metodo generale utilizzato da Caccioppoli sono mai stati trovati). Nel 1976, appresa l’esistenza di tale problema tramite un suo amico, già allievo di Caccioppoli, esso fu completamente risolto nel giugno 1977 ( sia a livello particolare sia a livello generale) dal matematico italiano Onofrio Gallo (n, 1946 a Cervinara, Valle Caudina) che ne riporta integralmente il metodo risolutivo generale nel suo Codex Cervinarensis (Sezione Problemi impossibili). Ecco il testo del problema:
    “ Assegnati quattro insiemi finiti non vuoti A,B,C,D, ciascuno di ordine 4, formati, rispettivamente, dagli elementi (tutti distinti tra loro e nell’ordine) ai, bi, ci,di con i=1,2,3,4; e, considerato l’insieme casuale finito, E1 = (a1,c1, d1, b1, b2,c2, a2, c3, d2, a3, c4 , a4, d3, b3, b4, d4), di ordine 16, formato dagli elementi di A,B,C, D in che modo è possibile, senza eseguire calcoli di alcun tipo, ottenere la “soluzione fissa di Caccioppoli” S= (a,a,a,a, b,b,b,b,c,c,c,c, d,d,d,d)=(A,B,C,D) dove il simbolo (x,x,x,x) indica una qualsiasi permutazione degli elementi, rispettivamente, di A,B,C,D; e, inoltre, trovata la S, determinare poi un metodo generale tale che, a partire dal generico Ek (per ogni k variabile da 1 a n, con n massimo numero delle permutazioni ottenibili da E1) conduca alla S“? Chi è in grado di risolverlo?
    Secondo ‘O Genio”, come veniva chiamato il Prof. Caccioppoli, la probabilità che fosse trovata una soluzione da parte di qualche matematico nei successivi cinquant’anni (a partire dal 1930 circa, anno in cui il problema venne verosimilmente formulato) era inferiore ad un miliardesimo. Tale probabilità , però, saliva ad una su un trilione nel caso qualcuno avesse voluto determinarne il relativo “metodo generale”.
    News a cura di Umberto Esposito per gentile concessione dell’Autore.

  9. Umberto Esposito dice:

    UN’EQUAZIONE DIOFANTEA DI GALLO DI TERZO LIVELLO.
    Ancora oggi in rete ho notato che le equazioni diofantee lineari del tipo ax+by=c non solo vengono risolte col plurimilleanrio algoritmo di Euclide o nella migliore delle ipotesi ricorrendo alle congruenze di Gauss con inutile dispendio di spazio e di energie. Basterebbe ricorrere ad una delle formule di Gallo e anche per gli studenti la risoluzione di tali equazioni sarebbe enormemente facilitata ( e soprattutto compresa!), dal momento che,trovata una soluzione per un certo valore t1 del parametro t di Gallo, è possibile determinare le altre soluzioni incrementando t1 di t'= a-b o di suoi multipli interi. Non parliamo delle equazioni diofanteee di grado n>1. In questo caso se ne vedono delle belle in giro circa i metodi risolutivi ancora oggi adottati anche nel caso minimo n=2 ( equazioni di Fermat-Pell o semplicemnte di Pell): gli studenti universitari ( e non solo essi, ma anche i loro docenti) entrano in crisi parossistica. figuriamoci se n>2 o come nel caso elementare che segue che cosa accdrebbe!
    Tra le equazioni diofantee di terzo livello che appaiono nel Codex Cervinarensis del matematico italiano Onofrio Gallo (n.1946 a Cervinara, Valle Caudina) troviamo la seguente:
    (EG) A^(b^(z-y)) +B^(b^(k-x))= 134 217 729
    nelle sette incognite intere positive A, B, x, y. z. k, b, con A, B minimi, da risolvere sapendo che:
    (1) 20 376x^2 +5877y^2= 985 437
    (2) z^5 +k^5= 404 061
    (3) b=7x+2y-(2z+3k)
    Ci sarà qualche emerito studioso che saprà risolvere tale equazione senza ricorrere ai metodi classici prima richiamati? In caso negativo,
    la soluzione dell'equazione (EG) sarà diffusa nel prossimo mese di maggio.
    A cura di Umberto Esposito per gentile concessione dell’Autore.

  10. Ho risolto il problema dei buoi di Archimede, usando il procedimento inverso. I tori bianchi i 5/6 dei ner: Tori bianchi 5 e tori neri 6, e così via.

  11. La soluzione de buoi di Archimede è semplicissimo da risolvere.
    E' la più grande invenzione di Archimede per dar scacco matto agli alessandrini che lo avevano sicuramente sottovalutato.
    La mia soluzione è stata definita ragionevole da Prof. Umberto Bartocci vedi Episteme forum sez. 27.
    Il numero totale dei buoi è composto da dieci cifre, un miliardo e mezzo,
    Se qualcuno è interessato allasoluzione e spiegazione sono disponibile.
    Google: 1) Calogero Savarino; 2) I buoi di Archiede; 3) L'Archimede di Ravanusa.

  12. umberto esposito dice:

    UN’EQUAZIONE DIOFANTEA DI GALLO DI TERZO LIVELLO.
    SOLUZIONE La (1) 20 376x^2 +5877y^2= 985 437 ammette la soluzione intera positiva (x, y)=(5, 9), come si può dedurre applicando una delle quattro formule di Gallo; mentre la soluzione intera positiva della (2) z^5 +k^5= 404 061è (z, k)=(13, 8). Ne segue che b=3.
    Per conoscere i valori di A e B occorre risolvere la (EG) A^(3^4) +B^(3^3)= 134 217 729 cioè l’equazione diofantea A^81 +B^27= 134 217 729 la cui soluzione generale di Gallo è data da: A^81= (134 217 729 +1 +t)/2 = (134 217 730 +t)/2 e B^27= (134 217 727+1-t)/2=(134 217 728-t)/2 con t= A^81 –B^27 +1. Poiché il numeratore di A^81= (134 217 729 +1 +t)/2 dev’essere pari, imponiamo 134 217 729 +1 +t=2 da cui t= – 134 217 726 Per t= – 134 217 726 otteniamo la minima soluzione intera positiva (A,B)=(1,2) della (EG). Sempre nel Codex Cervinarensis del matematico italiano Onofrio Gallo (n. 1946 a Cervinara, Valle Caudina), con riferimento alla SEZIONE AUREA UNIVERSALE di Gallo, appare il seguente problema “Se G=( fi con G)= 1. 290 994 449 è il numero aureo universale di Gallo (irrazionale), esatto fino alla nona cifra decimale, determinare i minimi valori interi positivi o diofantei a, b, x, y con y+2a=ab, sapendo che (aG)^x +(bG)^y= 7 089 716 150; 5bx^5 +3ay^3= 9 303 061; 5ax^3 +7by^5= 8753 060; 3a^3 +7b^7= 547 067”. La soluzione sarà pubblicata nel mese di dicembre 2011.A cura di Umberto Esposito per gentile concessione dell’Autore.

    • umberto esposito dice:

      Risoluzione del problema che appare nel Codex Ccervinarensis del matematico Onofrio Gallo (n. 1946 a Cervinara, Valle Caudina): “Se G= 1. 290 994 449 è il numero aureo universale di Gallo (irrazionale), esatto fino alla nona cifra decimale, determinare i minimi valori interi positivi o diofantei a, b, x, y con y+2a=ab, sapendo che (aG)^x +(bG)^y= 7 089 716 150; 5bx^5 +3ay^3= 9 303 061; 5ax^3 +7by^5= 8753 060; 3a^3 +7b^7= 547 067”.
      SOLUZIONE
      E’ facile verificare che l’intero positivo b non può superare 5; ne segue che
      l’equazione 3a^3 +7b^7= 547 067 ammette la soluzione (a, b)=( 4, 5), per cui dall’equazione y+2a=ab si ottiene il valore minimo y=12, il che consente di ricavare da una delle restanti equazioni anche il valore minimo intero positivo della x che è x=13.
      News a cura di U. Esposito per gentile concessiona dell’Autore.

  13. L’ARCHIMEDE DI RAVANUSA
    Un insegnante di Ravanusa, Calogero Savarino, in pensione da qualche anno, ha impiegato parte del suo tempo nel decifrare e dare una ragionevole soluzione al “problema dei buoi di Archimede”. Dopo una fitta corrispondenza con Umberto Bartocci , emerito matematico italiano, il risultato è stato acclarato :

    From: "bube231"
    To:
    Sent: Monday, November 08, 2010 3:27 PM
    Subject: Re: I buoi di Arhimede.

    Caro Savarino,
    ha ragione ancora una volta su tutto, sicche' ho corretto l'errore nel
    testo da me parafrasato, ed aggiunto il suo indirizzo e-mail e la
    notazione finale sulla condizione delle pianure.
    Per qualsiasi altra modifica sono sempre qui a sua disposizione.
    Le invio in ogni modo la versione finale dell'articolo in attachment, di
    modo che potra' farne l'uso che vorra'.

    Lo scritto si trova gia' in rete, nella sezione N. 27 del Forum di Episteme: http://www.cartesio-episteme.net/ep8/ep-forum.htm

    Ecco invece il link diretto all'articolo: http://www.cartesio-episteme.net/ep8/archimede-sa

    Ne ho fatto fare menzione pure su Wikipedia: http://it.wikipedia.org/wiki/Archimede#Il_problem

    Ancora una volta molti ringraziamenti per essere stato l'occasione di
    questo interessante approfondimento e cordiali saluti, con auguri per
    ogni cosa,
    UB
    Il 08/11/2010 11.22, calogero.savarino@email.it ha scritto:

    Prof. Umberto Bartocci
    Via Gigliarelli 62
    06124 Perugia (Italy) http://www.cartesio-episteme.net

    Il Savarino non avrebbe provato a risolverlo, non essendo un matematico, anche se gli piace tanto la matematica, se avesse prima visto e letto su internet :
    ( http://www.cartesio-epsteme.net/mat/archim.htm ) e altre ca. 2.000 pagine sull’argomento, le assurde interpretazioni, procedimenti e tentativi di soluzioni da parte dei più illustri matematici passati e contemporanei di tutto il mondo, che lo avrebbero confuso più di quanto si sono fatti loro confondere da Archimede.
    Dicono che Archimede è stato volutamente oscuro poiché nessuno ha saputo interpretarlo ed hanno tutti usato un procedimento illogico e, data la loro fama, volevano caparbiamente dimostrare di poter sollevare con una sola mano una tonnellata o costruire un palazzo di dieci piani cominciando dalla copertura. Nessuno si sarebbe permesso contraddirli anche poiché la loro soluzione non è verificabile avendo dato solamente il numero totale dei buoi , 206.545, che per scriverlo occorrono più di 40 pagine, non si può nemmeno tentare di leggerlo ed è difficile anche ad immaginarlo.
    E’ impossibile ed assurdo con il loro procedimento cercare di calcolare il numero dei tori bruni con delle equazioni poiché non c’è nessun rapporto con gli altri tori e nessun dato.
    Leggendo il testo del problema la prima cosa che lo ha colpito e fatto riflettere, rivolgendosi ad Eratostene, direttore della biblioteca d’Alessandria d’Egitto è stato, quel
    “ Tu, che possiedi tanta scienza”.
    .
    Archimede ha voluto esaltare l’umiltà, sconosciuta a tutti coloro che credono di possedere tanta scienza, invogliandoci principalmente a riflettere, usare la logica senza la quale i problemi si complicano di più e diventano irrisolvibili anche se adesso che possono utilizzare regole, teoremi e computer.
    Era stato sicuramente, durante il suo soggiorno in Egitto, sottovalutato, criticato e denigrato.
    Doveva riscattarsi mettendoli alla prova, dimostrare la loro incapacità e ha lanciato loro una sfida ed era sicuro di vincerla conoscendoli.
    Archimede ha scritto sotto forma poetica qualcosa di semplice, elementare da risolvere confondendoli con delle equazioni elementari facendo loro imboccare una strada senza uscita.
    E’ sufficiente non accorgersi di una virgola, di un verbo, di un aggettivo per rendere il problema irrisolvibile.
    Appositivamente si è voluto far sottovalutare nuovamente usando subito un mezzo + un terzo al posto di dire direttamente 5/6 e così per tutte le altre sei semplicissime addizioni di frazioni :
    1/4 + 1/5 = 9/20 : 1/6 + 1/7 = 13/42 ; 1/5+ 1/ 6 = 11/30.
    Matematicamente per risolvere il problema è sufficiente saper addizionare, sottrarre, moltiplicare e dividere delle frazioni. Era così semplice per lui ed il Savarino lo dimostrerà , che per sicurezza ha posto alla fine altre due condizioni che li hanno confusi completamente ed una condizione importantissima,quella delle pianure siciliane,mai considerata, per agevolarli e non far pensare loro ad un numero infinito. Non hanno nemmeno risolto la prima parte e non lo hanno esposto in modo intellegibile, come lo richiede anche il problema, per essere considerati ricchi di quella scienza che non è sicuramente la matematica ma la logica con la quale si possono fare previsioni ed invenzioni.
    Li ha confusi tanto con quei rapporti e con quelle altre tre condizioni aggiuntive che hanno interpretato il problema in un modo da renderlo irrisolvibile, anche se per non arrendersi alcuni illustri matematici hanno affermato di aver trovato la soluzione e che il numero totale dei buoi sarebbe formato da un numero di 206.545 e non riportando il numero dei tori e delle mucche in modo da non poterne verificare i rapporti e le condizioni.
    Chi si sarebbe permesso o avrebbe osato contraddirli?
    Dopo aver trovato la soluzione, il Savarino, ha interpellato decine di illustri matematici e dopo mesi solo il Prof. Umberto Bartocci, università di Perugia, si è degnato di rispondergli e dopo una lunga corrispondenza ha riconosciuto ed acclarato la soluzione definendola “ Finalmente ragionevole”.
    Ha pubblicato nel suo sito “ Episteme forum” capitolo 27 la soluzione, l’interpretazione ed il procedimento. La soluzione e l’interpretazione pubblicata si capiscono abbastanza bene. Il procedimento è incomprensibile per la maggior parte delle persone, anche per lo stesso Savarino, il quale lo spiegherà in modo intellegibile ed in modo che tutti possono capirlo per dimostrare che quello che ha affermato è vero e dimostrare la grandezza del grande ideatore del testo, Archimede.

    Testo
    «Calcola, o amico, il numero dei buoi del Sole, operando con cura, tu che possiedi molta scienza; calcola in quale numero pascolavano un giorno sulle pianure dell’isola sicula Trinacria, distribuiti in quattro gruppi di vario colore: uno di aspetto bianco latteo, il secondo splendente di color nero, il terzo poi di un bruno dorato ed il quarto screziato. In ogni gregge i tori erano in quantità considerevole, distribuiti secondo i rapporti seguenti: ritieni i bianchi come eguali alla metà ed alla terza parte di tutti i neri ed ai bruni; i neri poi eguali alla quarta parte ed alla quinta degli screziati e a tutti i bruni; i restanti screziati considerali poi come eguali alla sesta ed alla settima parte dei tori bianchi e di nuovo a tutti i bruni. Le giovenche invece erano distribuite nei rapporti seguenti: le bianche erano eguali precisamente alla terza e quarta parte di tutto il gregge nero; le nere alla quarta parte insieme alla quinta delle screziate prese assieme ai tori; le screziate erano precisamente eguali alla quinta parte ed alla sesta di tutti gli animali del gregge bruno; le brune poi vennero valutate eguali alla metà della terza parte ed alla settima parte del gregge bianco. Quando, o amico, avrai determinato esattamente quanti erano i buoi del Sole, avrai distinto quanti erano di ciascun colore, non ti si chiamerà certamente ignorante nè inabile nei numeri, però non ti si ascriverà peranco fra i sapienti. Ma ora bada bene a questi altri rapporti fra i buoi del Sole. Quando i tori bianchi mescolavansi ai neri formavano una figura equilatera, le vaste pianure della Trinacria erano allora tutte piene di buoi; invece i bruni e gli screziati costituivano una figura triangolare. Quando avrai trovato tutto questo e l’avrai esposto sotto forma intelligibile e avrai anche trovato il numero totale dei buoi, allora, o amico, va superbo per quanto hai fatto come un vincitore e sta sicuro di venire considerato come ricco di quella scienza».

    SOLUZIONE ( prima parte )
    E’ necessario tenere sempre davanti il testo del problema.

    Archimede era sì un grande matematico ma era soprattutto un inventore, e s’inventa con la logica che a sua volta s’impara, si verifica e si controlla con i numeri o risultati .
    E’ evidente che per prima cosa si deve risolvere la prima parte del problema, poiché la seconda parte, riferita ai numeri di diverso colore delle mucche, richiede i numeri dei tori.

    Anche se adesso si conosce la soluzione con il numero dei tori e delle mucche di diverso colore, il Savarino è sicuro che nessun matematico sia in grado di esporlo in modo intellegibile.
    Ha trovato più di quindici diversi procedimenti intellegibili e semplici per cercare di trovare quello di Archimede e non sapendo ancora quale Archimede abbia usato esporrà il più semplice ed elementare ma è sicuro che Archimede ne abbia usato un altro un po’ più complesso ad esporlo per iscritto ma più semplice ad esporlo verbalmente.
    Naturalmente la soluzione della prima parte del problema non è definitiva ma tutti i numeri dei tori devono essere ancora moltiplicati per dei diversi numeri per rapportarli con il numero delle mucche e per soddisfare anche la condizione quadrata e triangolare.

    Abbiamo dei tori di quattro colori diversi, ( bianchi, neri, bruni e screziati ) mai i gruppi dei tori sono tre, bianchi, neri e screziati, ed in ognuno dei tre gruppi ci sono un numero di tori bruni.
    Chiameremo i Tori bianchi A ; Tori neri B ; Tori Bruni C ; Tori screziati D
    Dal testo: Ritieni A uguali alla metà più un terzo di B + C. 1/2 + 1/3 = 5/6 .
    A = 5/6 di B + un certo numero di C.
    Dovendo prendere due numeri dei quali uno sia i 5/6 dell’altro, esistendone a milioni, prendo inizialmente il più piccolo che è A = 5 , B = 6 . Verifica : A = 5/6 di B. 5 = 5/6 di 6
    Effettivamente esistono milioni di milioni di combinazioni che, portandoli ai minimi termini, diventano tutti 5/6, quindi il valore e il rapporto non cambia, per esempio: 10/12 ; 15/18/ ; 20/24 , 1000/1200 e così via all’infinito fino ad arrivare a numeri con oltre 206.545 cifre.
    A= 5 + C ; B = 6 + C

    Abbiamo stabilito che, A = 5 e B = 6 e sono rispettivamente il numero dei tori bianchi ed i tori neri.
    5 + C = Numero dei tori del gregge bianco ; 6 + C = Numero dei tori del gregge nero.

    Prima di continuare faccio presente che il problema richiede numeri di buoi e non di cose e naturalmente è obbligatorio lavorare con numeri interi. Non si può e non si deve lavorare con numeri decimali. Non esiste un toro e mezzo ecc…..
    Conoscendo B ( 6 ) e leggendo dal testo che B sono i 9/20 di D, con una semplice ed elementare equazione posso trovare il numero degli screziati.
    Quindi : 9/20 di D = 6 ; D = 6 x 20 : 9 ; D = 13,333333333, numero decimale
    Per far diventare intero il 13,333333 lo devo moltiplicate per tre e per mantenere i rapporti con A e B li devo moltiplicare anche per tre. I rapporti richiesti da Archimede verranno rispettati.
    A x 3 = 5 x 3 = 15 ; B x 3 = 6 x 3 = 18 ; D x 3 = 13,333 x 3 = 40.
    A = 15 ; B = 18 ; D = 40.
    Verifica : A = 5/6 di B ; 5/6 x 18 = 15;
    B = 9/20 di D : 9/20 x 40 = 18

    Avendo trovato il numero dei tori A,B,D posso procedere tranquillamente essendo consapevole che questi numeri devono ancora parecchie volte essere moltiplicati per lo stesso numero in modo di non alterare i rapporti per trovare gli altri numeri di tori e mucche.

    Archimede adesso comincia a giocare e li fa pensare al numero di C che non avendo nessun rapporto è impossibile trovarne il numero e continua dicendo che i restanti screziati sono 1/6 + 1/7 che è uguale ai 13/42 dei restanti screziati + un certo numero di C.
    Ha nominato appositivamente i restanti screziati per ultimo per far loro pensare all’ultimo colore dei tori mentre effettivamente i restanti screziati equivalgono agli 11/20 degli screziati poiché i 9/20 erano stati già nominati per trovare il numero dei tori neri.
    Ci sono cascati tutti i più grandi matematici passati e contemporanei, non hanno fatto caso a quel restanti ed il problema è diventato irrisolvibile, poiché considerando il numero de restanti screziati 40 e non 22 ( 40 – 18 ) il numero dei buoi diventa talmente grande da non poter essere contenuto dalle pianure siciliane che è anche una condizione del problema che tutti hanno completamente ignorato. Quindi : Restanti screziati = 40 – 18 = 22 , oppure 11/20 di 40 = 22

    E’ inutile soffermarsi e riflettere come trovare il valore di C, per adesso è impossibile.
    IL testo continua : i restanti screziati sono i 13/42 dei bianchi.
    Ma abbiamo già il numero dei bianchi che è quindici quindi si riferisce sicuramente al gruppo dei tori bianchi cioè A + C e rileggendo il testo mi accorgo di non aver fatto caso per nessun motivo ad un verbo proprio all’inizio del problema ed usato solo una volta in riferimento al numero dei tori bianchi “ RITIENI “ i bianchi come uguali alla metà ed ad un terzo dei tori neri + i bruni, quindi non devo considerare i tori bianchi, che già si consce il numero, ma il gruppo dei tori bianchi proprio per quel verbo ritenere e quindi i 13/42 di (A + C) = 22 .
    A + C = 22 x 42 : 13 = 71,0769230769………..
    Essendo il 13 ( divisore) un numero primo per far diventare il 71,076…… devo moltiplicare il 22 per 13 e per non perdere i rapporti con gli altri tori sono obbligato a moltiplicare per 13 tutti i numeri dei tori trovati fino ad ora.
    A = 15 X 13 = 195 ; B = 18 X 13 = 234 ; D = 40 X 13 = 520 ;
    Restanti screziati = 520 – 234 = 286.
    Quindi adesso posso scrivere l’equazione per trovare il numero del gruppo dei tori bianchi A + C =
    13/42 di 286 = A + C ; A + C = 286 x 42 : 13 = 924
    Riepilogando : Tori bianchi = A = 195 ; Tori neri = B = 234 ; Tori screziati = D = 520 ;
    Restanti screziati = 286 ; Tori bianchi + tori bruni = A + C = 924
    Non si deve essere un matematico o un cervellone per capire che automaticamente è venuto fuori anche il numero dei tori bruni :
    Avendo il numero dei tori bianchi ed il numero dei bianchi più i bruni si capisce che la loro differenza deve dare il numero dei tori bruni.
    ( A + C ) – A = C ; C = 924 – 195 = 729 ; C = 729 ( Tori bruni )
    A = 195 ; B = 234 ; C = 729 ; D = 520 ; restanti screziati = 286; A + C = 924.

    VERIFICA
    A = 5/6 di B ; A = 5/6 di 234 = 195 + i bruni
    B = 9/20 di D ; B = 9/20 di 520 = 234 + tutti i bruni
    D = 520 ; Restanti screziati = D – B = 520 – 234 = 286 ;
    C = ( A + C ) – A = 924 – 195 = 729.